Variaciones

**ANDRÉS DEFAZ**
**VARIACIONES ** Las variaciones se le conocen también como; arreglos, disposiciones, ordenaciones, distribuciones. Si tenemos 4 objetos: **__A, B, C, D.__**

**Variación Binaria o de segundo orden.- ** se llama a todo conjunto ordenado por dos cualesquiera de los objetos dados. Su cuadro es el siguiente: AB BA CA DA Se escribe ordenadamente las 4 columnas AC BC CB DB AD BD CD DC

**Variaciones ternarias o de tercer orden.- ** se llaman a todo conjunto ordenado por tres cualesquiera de los objetos dados, escribiendo ordenadamente las 4 columnas, tenemos:

ABC BAC CAB DAB Analice el desarrollo de la primera columna ABD BAD CAD DAC ACB BCA CBA DBC ACD BCD CBD DBA ADB BDC CDB DCB ADC BDA CDA DCA __Es decir, 4 x 6 = 4 x 3 x2 = 24 variaciones ternarias __

**Variaciones cuaternarias o de cuarto orden.- ** que no seria otra cosa que las permutaciones de dichos elementos. En general se llama variación de n objetos tomados de p a p, o también llamados de orden p, a todo conjunto ordenado formado por p objetos seleccionados de cualquier manera entre los n objetos dados, considerando distintas dos variaciones cuando difieran en algún objeto o en el orden en que están dispuestas.


 * __ NUMERO DE VARIACIONES DE ORDEN p QUE SE PUEDE FORMAR CON n OBJETOS __**

Vamos a presentar este número por: Vn1p1; donde n= objetos y p= orden de variación


 * Variaciones || Fórmula ||
 * Monarias || Vn.1 ||
 * Binarias || Vn.2= n(n-1) ||
 * Ternarias || Vn.3= n(n-1)(n-2) ||
 * Cuaternarias || Vn.3= n(n-1)(n-2)(n-3) ||

Se observa que en cada caso el número de variaciones obtenidas se expresa por un producto de p factores consecutivos decrecientes, el primero de los cuales es n. La letra p indica el orden de las variaciones que se consideran, es decir, el número de p objetos que entran en cada una.

__Ejemplo:__

Datos Formula Desarrollo n= 7 Vn.3 = n (n-1) (n-2) V 7.3 = 7 (7-1) (7-2) V7.3 = 7x6x5 = 210


 * Ejercicios: **


 * 1.- Formar las variaciones binarias de las letras X, Y, Z **

XY YZ ZX XZ YZ ZY


 * 2.- Formar las variaciones ternarias de cuatro cifras: 1,2 ,3 ,4 **

1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132  1324 2314 3214 4213  1342 2341 3241 4231  1432 2413 3412 4312  1423 2431 3421 4321


 * 3.- Formar las variaciones de cinco objetos tomados de 2 a 2 **

n= 5 Vn.2 = n (n-1) V5.2 = 5(5-1)

p= 2 V5.2 = 20


 * 4.- Calcular el número de variaciones de 6 objetos tomados de 3 a 3 **

n= 6 Vn.3 = n (n-1)(n-2) V6.3 = 6X5X4

p= 3 V6.3 = 120


 * 5.- Calcular el número de variaciones de 10 objetos tomados de 4 a 4 **

n = 10 Vn.4= n(n-1)(n-2)(n-3) V10.4= 10x9x8x7 p = 4 V10.4= 5040


 * 6.- Hay doce aviones siguiendo al ruta aérea Manta-Cuenca, ¿de cuantas maneras se puede hace el viaje tomando el regreso un avión distinto al de ida? **

n = 12 V12.2 = 12x11 = 132

p = 2


 * 7.- ¿De cuantas maneras se puede cubrir posiciones de presidente, secretario y tesorero de un club, si hay 10 socios elegibles? **

n = 10 V10.3 = 10x9x8

p = 3 V10.3 = 720


 * 8.- ¿De cuantas maneras se pueden sentar 4 personas en 6 asientos? **

n = 6 V6x4= 6x5x4x3

p = 4 V6x4= 360


 * 9.- Calcular el número de señales que se pude hacer con 10 banderas pudiendo izarse cada vez 2 o 3 banderas **

n = 10 V10.2 = 10x9 V10.3 = 10x9x8 V10.2 = 90 V10.3 = 720 p = 2 p = 3 720 90 810


 * 10.- Con 20 letras cuantas siglas de 4 letras se puede formar **

n = 20 V20.4 = 20x19x18x17

p = 4 V20.4 = 116280


 * 11.- Hallar el valor de n para el cual Vn.6 = 3 Vn.5 **

Vn.6 = 3 Vn.5 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) = 3n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) n-5 = 3 n = 8


 * 12.- Hallar el valor de n para el cual Vn.5 = 6 Vn.3 **

Vn.5 = 6 Vn.3 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 6n(n-1)(n-2) (n-3)(n-4) = 6 n² -7n +6= 0 n(n-7) = -6 n = 7


 * 13.- Hallar el valor de p para el cual V 8.p = 2 V 7.p **

V 8.p = 2 V 7.p 8. {7.6… (8-p+1) } = 2 {[7.6… (7-p+1)] } 8 = 2 (7-p+1) 8 = 14 -2p +2 2p = 8 p = 4
 * 14.- Hallar el valor de p para el cual V 12.p = 2 V 11.p **

V 12.p = 2 V 11.p 12. {11.10… (12-p+1)} = 2 {[11.10… (11-p+1)] } 12 = 2 (11-p+1) 12 = 22-2p +2 2p = 12 P = 6